【專欄】幾個「美麗的角度」

文/王至劭（台聯政策顧問、台灣教授協會會員）

一些角度自然地存在於這個世界，很剛好也很美麗。我們以前蓋房子，都必須蓋得直直的，也就是90°，用弧度來說就是二分之π（pi)。現在有一些房子故意蓋得斜斜的，部分牆壁可能是70°、80°，這可能是為了突破固有的觀念。

我們這裡要來談一些更精彩的角度，首先來談第一張圖片上這個形狀–底下擺三顆圓球，上面再擺一顆，這是相當的對稱，各面會形成一個正四面體。四個圓球固定之後，不管哪一面朝下，它的形狀是完全一樣的、對稱的。如果從這個四個球的中心想像一個點，再把這一點連到四個球的個別中心，那就會有四條線。這四條線兩兩之間的夾角都是完全一樣的，大約109.47°(普遍說成109.5°)也就是109°28’(28分)，習慣60進位就知道，60分就是一度，28分就是0.47°(四捨五入)。

那麼這個度數怎麼算出來的呢？有三種算法，我們現在就用最簡單的向量法來計算，我們在一個立體坐標當中，上下各分為前後左右，總共八個小區間。我們可把這四點標為：

頂點 A(1, 1, 1) 頂點 B(1, -1, -1) 頂點 C(-1, 1, -1) 頂點 D(-1, -1, 1)。

正四面體的幾何中心即為正方體的中心O(0,0,0)。從中心 O 指向頂點 A 和頂點 B 的兩個向量分別為：

我們首先來看甲烷的結構，甲烷CH4的碳在中間，4個氫在四邊，對稱的，4個氫是完全一樣的，大家份量完全相同。當然，原子在原地會震動，但基本上，就是這麼均勻叉開來，兩兩之間的夾角就是109.5°。

接著我們來看水，水的情況就不太一樣了，它是H2O，氧在某一側，兩個氫會被擠向另一側，因為氧的原子序是8，看它的原子軌域，當兩個氫的電子給了氧，2P4就變成2P6軌域，完成鍵結，氧還有兩對電子沒有參與鍵結，這兩對電子當然必須佔據空間，他們就會擠到另外一邊去，同時也推擠氫離子，迫使兩個氫之間的角度變成104.5°，小於109.5°。也就是說，孤對-孤對排斥力>孤對-成鍵對排斥力>成鍵對-成鍵對排斥力。

水應是宇宙當中最普遍的物質之一，我們看宇宙當中那兒有沒有生物，最主要就是看有沒有水來判斷。有水的地方就可能有生物，水的104.5°相當於就天生這麼來的。這個角度還會決定氫鍵的形成以及解釋冰為何能漂浮等性質。這裡對這些事提供了更深刻的見解，解釋了孤對電子軌道具有更多的“s軌道成分”，這使得它們更靠近原子核，並壓縮了成鍵軌道之間的夾角。

三對成鍵電子對，一對孤對電子的情況呢？那對強勢的孤對電子將NH3 的H-N-H角壓縮到約107°(一對比較不夠力)，若是水兩對成鍵電子對，兩對孤對電子，兩對更強勢的孤對電子將H-O-H角進一步壓縮到104.5°，其實這是優雅而高效地將其能量最小化的結果。這個模型的美妙之處在於，水的鍵角不是一個孤立的事實，而是由一個簡單原則支配的可預測模式的一部分。

這些角度可想成一群小孩撐開各式陽傘，大家力量不同，陽傘大小也不同，撐開角度自然不同。其實，這些角度皆可由量子力學，或說「量子化學」得到很好的計算與解釋，科學就是這麼迷人。例如，用物理公式可算出：一顆鐵珠子用彈弓射出，45度角可射得最遠，用此角度下去做實驗，竟果真如此，絕妙吧！

希望這些文章鼓舞更多年輕學生投入數學、物理、量子力學、自然科學的領域，這是筆者的主要用意。