【專欄】銀行複利與自然對數的奇妙關係

文/王至劭（台聯政策顧問、台灣教授協會會員）

在此先談一個真實故事，25年前有人跟台中市一家銀行信用貸款(無須抵押)，年利率是10.5%，而條文規定，如果違約處罰性利率會變成20%（這是國家規定的利息上限），後面竟然再加一句–「得以日利計算」。不是學理工科的人，很難理解這樣的情況以日利計算利息到底會是多少？

把利率除以365，成日利，加1為本利和，一天的本利和再365次方，答案是變成22.13%。也可以說該銀行遊走灰色地帶，因為20%是國家規定的利率上限，嚴格說來，該銀行已經違反國家規定。懂複利數學的人請用工程用計算機算一算，1千萬20年後就會變成5.45億。

在此特別強調，根據最新的法律規定，台灣的法定利率上限已從20%調降至16%。自2021年7月20日起，超過16%的利息約定將被視為無效，債務人即使已支付超過部分，也有權請求返還。這項修法旨在保護借款人的權益，防止高利貸的剝削行為。

年利如果是100%(地下錢莊可能)，若以年利計算會是多少？那當然是一百萬一年後變成兩百萬，「日利」計算會變成多少？「小時利」計算會變成多少? 以「秒利」計算，就出現2.7182808.....，和e這神奇數字的誤差只有百萬分之一，若一天用精確的365.2422日計算，和e誤差竟然只有百萬分之0.03。換句話說，時間間隔如果變成無限小，就又會逼近自然對數e這個數值，一年後本利和變成271萬8281元。其實這也不是太神奇，自然對數的定義就是這麼來的！

自然對數e等於2.7182818....，數學上，我們讓（1＋1/n）的n次方，n逼近於無窮大，得到這個數目字。

世界上就兩個最妙的數字，一個是圓周率π，這個大家都知道；另一個就是自然對數e，亦稱自然常數、自然底數，或是尤拉數（Euler's number），是無理數的數學常數，以瑞士數學家尤拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它和圓周率π一樣是一個無限不循環小數，數值約是上面所述2.718281…..

因此對我們一般人說來，跟銀行借錢要非常小心，要讀清楚銀行每一條條款，什麼狀況會違約？違約如何處罰？都要搞清楚。我們一般人做生意不太可能不跟銀行借錢，但絕不能亂借貸。銀行是有知識、有智慧、有頭腦的一個集團，地方上銀行如果人才不足，一般而言他們還會有中央那邊的銀行，人才多得是，我們一般人不可能玩得過銀行。我們可以利用銀行貸款做個短期的周轉，但絕不可想說跟銀行錢借一借就賴給銀行，除非你是陳由豪。

這裡多說明一下，e的奇特性質很多，其中最著名的是e的x次方微分竟然等於它自己。微分是變化率的意思，e的x次方把函數圖形畫出來，其斜率變化率就是等於e的x次方，你說神奇不？如果是10的x次方的微分，其前面會有一個不為1的常數，但自然對數e的x次方的微分就是那麼有趣，等於它本身。